Bagaimana kita tahu bahwa semua elektron itu identik? Bagian 2

Dalam Bagian 1, saya membahas paradoks Gibbs, paradoks mekanika statistik akhir abad ke-19 yang resolusinya menyarankan bahwa partikel harus identik dan tidak dapat dibedakan pada tingkat tertentu. Ini adalah petunjuk pertama, dan membuat beberapa orang memikirkan masalah ini - tetapi itu bukan kata terakhir.

Di Bagian 2, saya akan menyelesaikan penjelasan saya tentang bagaimana fisikawan tahu bahwa semua partikel unsur (seperti elektron) identik dengan mempelajari mekanika kuantum, bidang fisika yang menakjubkan yang ditemukan dan dikembangkan selama 3 dekade pertama abad ke-20. abad (1900-1930). Seharusnya dimungkinkan sepenuhnya untuk membaca Bagian 2 tanpa membaca Bagian 1; meskipun keduanya berkaitan dengan mengapa partikel identik, keduanya mandiri dan tidak ada yang bergantung pada yang lain. Bagian 1 pada dasarnya adalah penjelasan yang dapat dipahami sekitar tahun 1900, sedangkan Bagian 2 adalah penjelasan yang dipahami tahun 1930 - setelah mekanika kuantum diselesaikan.

Dalam mekanika statistik klasik, Anda dapat mewakili kemungkinan yang berbeda untuk keadaan suatu sistem berdasarkan probabilitas. Misalnya, jika Anda mengetahui suhu dan tekanan gas, ada distribusi statistik (disebut “fungsi kerapatan probabilitas”) dari berbagai partikel yang menyusun gas. Partikel-partikel ini memantul secara acak. Pada suhu tinggi, Anda cenderung menemukan molekul individual gas bergerak dengan cepat; pada suhu rendah, Anda cenderung menemukan molekul individual dari gas bergerak perlahan. Tapi bagaimanapun juga ada berbagai macam kemungkinan.

Dalam mekanika kuantum, hal yang sama berlaku tetapi menjadi sedikit lebih rumit. Fungsi kepadatan probabilitas dalam mekanika kuantum diberikan oleh kuadrat besarnya fungsi kompleks yang disebut "fungsi gelombang". Maksud saya, bukannya fungsi bilangan real (x = 1, 2, 3.4, 9.8, dll.), Ini adalah fungsi bilangan kompleks, yang masing-masing memiliki bagian nyata dan imajiner (z = 1 + i, 2 + 3.5i, 4.8 + 9i, dll.) Jika Anda belum pernah mengalami ini sebelumnya, saya yakin itu terdengar sangat aneh. Tapi saya tidak bisa mengatakan lebih dari ini: ini hanya bagaimana mekanika kuantum bekerja - ini agak aneh!

Jadi misalnya, jika fungsi gelombang untuk elektron adalah 1 / √2 di posisi x dan 1 / √2 di posisi y, maka ketika Anda kuadratkan ini Anda mendapatkan probabilitas: peluangnya ditemukan di posisi x adalah 1/2 dan kemungkinan ditemukan pada y juga 1/2. Jadi, Anda mendapat bidikan 50/50 jika Anda mencarinya di kedua lokasi.

Sejauh ini masih identik dengan mekanika statistik klasik. Jika Anda mau, Anda juga bisa hanya mewakili fungsi kepadatan probabilitas dalam fisika klasik dengan akar kuadrat itu sendiri di mana-mana, dan tidak ada yang akan berubah. Perbedaannya adalah, dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang kurang berfungsi seperti abstraksi mental dan lebih seperti gelombang fisik yang sebenarnya, karena dapat menunjukkan gangguan.

Pinggiran gelap dan terang

Secara klasik, gelombang probabilitas tidak saling mengganggu. Probabilitas selalu merupakan angka positif, jadi jika dua partikel gas yang berbeda masing-masing memiliki probabilitas p untuk ditemukan di lokasi x, maka probabilitas untuk menemukan salah satu dari mereka hanya ada 2p. Secara klasik, probabilitas untuk peristiwa yang berbeda terjadi (atau hasil pengukuran yang berbeda terjadi) selalu menambah satu sama lain, tidak pernah mengurangi.

Namun dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang itu sendiri (bukan kuadratnya) yang bertindak sebagai gelombang. Dan karena fungsi gelombang pada setiap titik dapat berupa bilangan kompleks (termasuk bilangan real positif atau negatif), kadang-kadang ketika Anda menggabungkan kemungkinan yang berbeda, probabilitas menambahkan tetapi di lain waktu mereka mengurangi! Ketika pengurangan terjadi - misalnya jika probabilitas untuk dua peristiwa yang berbeda sepenuhnya dibatalkan sehingga tidak mungkin terjadi - itulah yang disebut interferensi kuantum.

Mari kita asumsikan kita memiliki 2 elektron dan hanya ada 2 lokasi di mana setiap elektron dapat ditemukan, lokasi x atau lokasi y. Jika kedua elektron itu dapat dibedakan, maka kita dapat menamakannya "elektron A" dan "elektron B" dan ini berarti ada 4 kemungkinan kondisi sistem 2-elektron. Baik A dan B berada di x, keduanya adalah pada y, A adalah pada x dan B adalah pada y, atau B adalah pada x dan A adalah pada y. Untuk meringkas, kita memiliki AB = xx, yy, xy, atau yx. Notasi umum untuk mewakili keadaan seperti ini dalam mekanika kuantum adalah dengan menggunakan tanda kurung sudut: | xx>, | yy>, | xy>, dan | yx>.

Tetapi penelitian ilmiah pada tahun 1920-an menunjukkan fakta yang mengejutkan: sistem 2 elektron seperti ini tidak dapat berada di 4 negara yang berbeda, hanya ada 1 keadaan yang memungkinkan!

Sebagian alasan untuk itu Anda harus bisa menebak: jika tidak ada cara untuk membedakan elektron A dari elektron B, maka keadaan | xy> dan | yx> identik. Mereka hanyalah dua cara berbeda untuk mewakili keadaan fisik yang sama. Either way, ada 1 elektron pada posisi x dan 1 pada posisi y.

Tapi itu masih meninggalkan kita dengan 3 keadaan, bukan 1 - apa yang salah dengan memiliki keadaan seperti | xx> di mana kedua elektron berada di posisi x, atau | yy> di mana keduanya berada di posisi y? Ternyata, lebih dari 1 elektron tidak pernah bisa menempati keadaan yang sama. Pada tahun 1925, Wolfgang Pauli mengusulkan prinsip ini - sekarang dikenal sebagai prinsip pengecualian Pauli - dan pada tahun 1940 ia mampu membuktikan dengan menggunakan teori medan kuantum bahwa itu berlaku tidak hanya untuk elektron tetapi juga untuk semua partikel dari jenis tertentu (yang memiliki setengah bilangan bulat) spin - elektron memiliki putaran 1/2).

Wolfgang Pauli

Itu akan membawaku terlalu jauh dari topik untuk memberikan penjelasan lengkap tentang apa yang berputar di pos ini (jika Anda ingin tahu lebih banyak, Anda didorong untuk membaca penjelasan saya tentang spin-1/2 di sini di Quora, yang baru saja mereka beri tahu saya diemail ke lebih dari 100.000 orang kemarin). Tapi ternyata, semua partikel kuantum jatuh ke dalam 1 dari 2 kategori: fermion atau boson. Fermion memiliki putaran setengah bilangan bulat dan mematuhi prinsip pengecualian Pauli, sementara boson memiliki putaran bilangan bulat dan tidak.

Fermion cenderung memiliki lebih banyak sifat "seperti materi". Sebagai contoh, elektron, proton, dan neutron semuanya adalah fermion spin-1/2. Mereka adalah apa yang membentuk blok bangunan materi (atom, molekul, dll.) Anda mungkin pernah mendengar suatu tempat bahwa materi tidak dapat menempati ruang yang sama pada waktu yang sama. Ini sebagian karena prinsip pengecualian Pauli (serta tolakan elektrostatik antara atom yang berbeda).

Boson cenderung memiliki lebih banyak sifat "seperti radiasi". Misalnya, foton - partikel yang bertanggung jawab atas cahaya dan radiasi elektromagnetik lainnya (gelombang radio, gelombang mikro, wifi, UV, sinar-x, sinar gamma, dll.) - adalah boson spin-1. Boson Higgs ditemukan di LHC pada tahun 2012 adalah bos spin-0. Dan sebagian besar fisikawan teoritis percaya bahwa gravitasi dimediasi oleh bos spin-2 yang disebut graviton, meskipun ini belum terdeteksi di laboratorium.

Prinsip eksklusi Pauli bukan hanya aturan aksiomatik, ini adalah kesimpulan yang dapat diturunkan dari teori fisika dasar terbaik kami. Faktanya, teori ini membutuhkan teori relativitas khusus Einstein yang dikombinasikan dengan mekanika kuantum untuk mendapatkan sepenuhnya prinsip pengecualian Pauli sebagai kesimpulan. Karena cara kerja spin, fungsi gelombang 2 boson selalu dipaksa menjadi "simetris" sedangkan fungsi gelombang 2 fermion selalu dipaksa menjadi "antisimetris".

Dalam konteks ini, simetris berarti bahwa jika Anda menukar lokasi dua boson maka tidak ada yang terjadi - Anda mendapatkan kembali keadaan yang sama persis. Antisimetri berarti sesuatu yang serupa tetapi tidak sepenuhnya: jika Anda menukar lokasi dua fermion identik maka Anda mendapatkan kembali keadaan yang sama tetapi dengan tanda minus di depannya.

Mekanika kuantum dilakukan dalam suatu jenis ruang vektor yang disebut "ruang Hilbert" di mana setiap kali Anda memiliki 2 keadaan, ada keadaan lain yang dapat dibentuk darinya dengan menambahkannya bersama dalam "kombinasi linear". Sebagai contoh, jika | xy> dan | yx> keduanya adalah state dalam ruang Hilbert, maka | xy> + | yx> juga merupakan state dalam ruang Hilbert yang sama. Demikian juga | xy> - | yx> atau kombinasi linear lainnya seperti 3 | xy> -2 | yx>. Cara menggabungkan keadaan dalam mekanika kuantum disebut "superposisi". Alih-alih berada di satu lokasi atau berada di lokasi lain, elektron memiliki peluang berada di satu lokasi dan beberapa peluang berada di lokasi lain.

Namun, karena keadaan ini mewakili fungsi gelombang kuantum, dan saya sebutkan sebelumnya bahwa kuadrat besarnya fungsi gelombang kuantum adalah distribusi probabilitas, keadaan harus dinormalisasi sedemikian rupa sehingga probabilitas total elektron yang ditemukan di mana saja bertambah. hingga 100% (atau 1). Oleh karena itu, koefisien dalam kombinasi linear di atas harus dibagi dengan faktor keseluruhan untuk menormalkannya.

Menggabungkan ini dengan persyaratan bahwa fungsi gelombang fermionik harus selalu antisimetri, itu berarti bahwa satu-satunya keadaan 2 elektron ini dapat berada dalam (dengan asumsi hanya ada 2 lokasi yang mungkin bagi mereka) adalah 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (Atau hal yang sama dikalikan dengan bilangan kompleks berkekuatan 1, yang secara fisik setara.) Jika kita menukar x dan y dalam hal ini, kita mendapatkan 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> yang persis sama -1 kali keadaan aslinya. Secara matematis ini adalah keadaan yang berbeda di ruang Hilbert, tetapi secara fisik itu berarti hal yang sama. Jika Anda kuadratkan koefisien 1 / √2 maka ia memberi tahu Anda bahwa ada peluang 1/2 elektron A berada di x dan elektron B berada di y, dan peluang 1/2 bahwa elektron B berada di x dan elektron A di y. 50/50

Apa yang kami lakukan adalah mengambil dua keadaan yang secara fisik tidak dapat dibedakan - | xy> dan | yx>, dan membentuk superposisi dari mereka yang memiliki sifat antisimetrik ini diperlukan oleh fermion. Tetapi bagaimana dengan status | xx> dan | yy>? Ini tidak pernah dapat dibuat antisimetris, karena menukar x dengan x, atau y dengan y tidak mengubah apa pun. Karena mereka secara intrinsik simetris, mereka tidak bisa eksis untuk fermion - mereka hanya berlaku untuk boson.

Seperti yang sudah Anda tebak, ini berarti bahwa untuk boson ada 3 kemungkinan status yang dapat mereka miliki, bukan hanya 1. Untuk 2 foton yang bisa berada di lokasi x atau lokasi y, 3 keadaan berbeda yang bisa mereka tempati adalah | xx> , | yy>, atau 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - yang semuanya simetris sempurna jika Anda menukar x dan y. (Tidak ada tanda minus.)

Ringkasnya, sepasang partikel yang dapat dibedakan yang dapat berada di 2 lokasi berbeda memiliki 4 keadaan yang memungkinkan. Sedangkan sepasang fermion hanya memiliki 1 keadaan yang memungkinkan, dan sepasang boson memiliki 3 keadaan yang memungkinkan. Hal ini menyebabkan perilaku statistik yang sangat berbeda untuk fermion dan boson, dan menjelaskan mengapa banyak sifat dari 2 jenis partikel sangat berbeda.

Dalam posting saya sebelumnya, saya menceritakan kisah bagaimana studi Max Planck tentang entropi pada akhir 1800-an mengarah pada penemuan awal mekanika kuantum. Selama periode waktu yang sama, sudah ada petunjuk besar yang telah ada untuk sementara waktu - sebuah teka-teki yang diketahui tentang versi termodinamika Maxwell dan Boltzmann (yang kemudian dikenal sebagai mekanika statistik). Menggunakan Hukum Equipartition, termodinamika klasik meramalkan kapasitas panas yang salah untuk banyak gas pada suhu rendah.

"Kapasitas panas" adalah jumlah panas yang dapat diserap sesuatu hingga suhunya dinaikkan dengan jumlah tetap (biasanya, 1 derajat Celcius). Beberapa gas mampu menyerap banyak panas (energi panas) tanpa menaikkan temperaturnya. Sementara untuk yang lain, paparan hanya sedikit panas akan mengirim termometer melonjak. Teori di balik ini, menurut Maxwell dan Boltzmann, adalah bahwa beberapa gas lebih baik dalam menyerap dan menyimpan energi termal daripada yang lain karena mereka memiliki jumlah kebebasan internal yang lebih besar - “derajat kebebasan” ini berfungsi secara efektif sebagai wadah di mana energi bisa disimpan. Teorema Equipartition (diusulkan oleh Maxwell dan kemudian dibuktikan secara lebih umum oleh Boltzmann) menyatakan bahwa dalam kesetimbangan, setiap gas (atau cairan, atau padat) akan memiliki energi internal total 1/2 NkT. Di mana N adalah jumlah derajat kebebasan dalam gas itu, T adalah suhu gas itu, dan k adalah konstanta Boltzmann. Dengan kata lain, gas akan memiliki 1/2 kT energi panas per derajat kebebasan.

Misalnya, jika kita memiliki gas Hidrogen monatomik (monatomik berarti setiap molekul adalah atom tunggal), setiap atom memiliki 3 derajat kebebasan karena dapat bergerak dalam salah satu dari 3 arah: naik atau turun, kiri atau kanan, dan mundur dan ke depan (3 arah karena kita hidup dalam ruang 3 dimensi). Energi termal dapat diserap oleh atom Hidrogen dengan meningkatkan energi kinetiknya di salah satu dari 3 arah independen tersebut.

Kredit Gambar: astarmathsandphysics.com

Di sisi lain, jika kita memiliki gas molekul Hidrogen diatomik (diatomik berarti setiap molekul terdiri dari 2 atom yang dihubungkan oleh ikatan kimia) maka ada lebih banyak derajat kebebasan (kemungkinan cara di mana setiap molekul gas dapat bergerak) . Selain kebebasan untuk bergerak secara linier dalam salah satu dari 3 dimensi, ia juga memiliki kebebasan untuk memutar sepanjang 2 sumbu yang berbeda.

Meskipun 75% materi di alam semesta berdasarkan massa adalah Hidrogen monatomik, sebagian besar Hidrogen di Bumi adalah Hidrogen diatomik. Itu karena Hidrogen hanya monatomik pada suhu dan tekanan yang sangat tinggi yang ada di dalam bintang (seperti matahari). Di bawah kisaran suhu yang ditemukan di dekat permukaan bumi, Hidrogen berpasangan secara alami ke dalam fase diatomiknya. Tapi yang terasa aneh di tahun 1800-an adalah bahwa tergantung pada suhu yang tepat, Hidrogen diatomik dapat memiliki kapasitas panas yang berbeda.

Kredit Gambar: Hyperphysics

Pada suhu kamar, Hidrogen memiliki kapasitas panas per molekul mendekati 5/2 k (atau jika per mol bukan per molekul, ini ditulis sebagai 5/2 R seperti pada diagram). Menurut pandangan Maxwell dan Boltzmann tentang termodinamika, ini menyiratkan 5 derajat kebebasan (sebenarnya 7, jika Anda menyertakan 2 lebih banyak derajat kebebasan untuk getaran). Tetapi nilai yang tepat pada suhu kamar adalah sekitar 2.47k. Dan saat gas didinginkan hingga di bawah 0 Celcius (273K), secara bertahap turun dari 2,47r hingga akhirnya mencapai 1,5k. Tetapi 3/2 k akan menyiratkan bahwa ia hanya memiliki 3 derajat kebebasan - dengan kata lain, itu adalah gas monatomik! Mengapa Hidrogen yang lebih dingin menjadi gas monatomik pada suhu rendah? Dan apa artinya memiliki nilai antara 3 dan 5 derajat kebebasan? Kapasitas panas seharusnya tidak tergantung pada suhu. Ada masalah serupa yang diketahui dengan kapasitas panas terukur dari Oksigen dan gas Nitrogen.

Ada banyak penjelasan yang diajukan untuk teka-teki ini di tahun 1800-an, tetapi tidak ada yang mengerti jawaban penuh sampai pengembangan mekanika kuantum. Jawaban lengkapnya adalah cara-cara di mana derajat kebebasan rotasi dapat tereksitasi dalam molekul dikuantisasi. Secara klasik, sesuatu dapat berputar dengan kecepatan berapa pun tidak peduli seberapa lambatnya - sehingga jumlah energi apa pun, sekecil apa pun, dapat memulai sesuatu yang berputar. Tetapi dalam mekanika kuantum, momentum sudut dikuantisasi sehingga rotasi hanya dapat terjadi dalam kenaikan diskrit tertentu. Entah molekul mulai berputar dengan cepat, atau tidak sama sekali - tidak ada di antaranya. Karena itu, pada suhu rendah jumlah rata-rata energi yang dipertukarkan antara tumbukan molekul secara acak terlalu kecil untuk menggairahkan derajat kebebasan ini. Pada suhu rendah, gas Hidrogen masih bersifat diatomik tetapi 3 derajat kebebasan translasi adalah satu-satunya yang dapat tereksitasi - tidak ada energi yang cukup untuk memulai rotasi molekul. Setelah suhu naik di atas ambang tertentu, energi khas yang terlibat dalam tabrakan menjadi cukup untuk merangsang rotasi. Semakin tinggi suhunya, semakin besar kemungkinan energi cukup tinggi untuk menyebabkan rotasi; oleh karena itu kapasitas panas secara bertahap naik ke tingkat yang diharapkan seseorang untuk sesuatu yang terdiri dari molekul dengan 5 derajat kebebasan. Jika Anda terus menaikkan suhu lebih lanjut, pada akhirnya suhu menjadi cukup panas untuk membangkitkan getaran (bayangkan ikatan antara atom-atom seperti pegas, peregangan dan kompresi secara bergantian), yang ternyata juga dikuantisasi. Pada suhu yang sangat panas, gas diatomik memiliki 7 derajat kebebasan yang dapat diakses, yang menurut Anda benar pada suhu apa pun secara klasik. Mekanika kuantum memberikan penjelasan serupa untuk kapasitas panas Oksigen dan Nitrogen.

Einstein mengusulkan pada tahun 1906 bahwa kuantisasi dapat menyelesaikan konflik yang tampak antara Maxwell dan Hukum Equipartisi Boltzmann dan kurva yang diukur secara eksperimental untuk pemanasan spesifik gas diatomik. Dan hipotesisnya dikonfirmasi pada tahun 1910 oleh Nernst ketika dia mengukur panas spesifik dari berbagai gas dengan akurasi yang lebih besar dan menemukan bahwa mereka setuju dengan prediksi teoritis Einstein. Ini adalah salah satu tes eksperimental pertama mekanika kuantum awal, dan itu berlalu!

Tapi kembali ke partikel identik, ada cara lain di mana teori mekanika kuantum gas berbeda secara substansial dari teori klasik klasik gas pada 1800-an.

Jika partikel-partikel individual dari gas dapat dibedakan, maka ketika Anda mendinginkan gas hingga nol absolut, mereka semua akan turun ke kondisi dasar - kondisi mana pun yang memiliki energi paling rendah. Biasanya, Anda akan berpikir keadaan dasar adalah satu di mana setiap partikel sepenuhnya beristirahat dan tidak ada energi kinetik, energi rotasi, atau segala jenis gerakan atau energi internal.

Tetapi untuk gas fermion, ketidakteraturannya mengarah pada prinsip eksklusi Pauli yang melarang lebih dari satu partikel identik masuk ke kondisi yang sama. Oleh karena itu, mereka tidak semua berada dalam kondisi dasar. Seringkali tingkat energi yang dapat ditempati partikel diwakili oleh diagram tangga, di mana setiap tingkat energi adalah anak tangga lain di tangga. Biasanya ada juga "degenerasi", di mana beberapa negara memiliki energi yang sama persis - dalam hal ini mereka dapat diwakili oleh anak tangga yang sama selama kita melacak fakta bahwa ada degenerasi (banyak negara) pada itu anak tangga.

Apa yang terjadi ketika gas fermion (juga dikenal sebagai gas Fermi) didinginkan hingga nol mutlak adalah bahwa setiap keadaan energi yang diberikan terisi, dimulai dengan keadaan dasar dan bergerak naik tangga hingga semua partikel dalam gas dicatat dan memiliki anak tangga. Sekali lagi, karena degenerasi, banyak partikel dapat berada pada anak tangga yang sama. Tetapi selama degenerasi kecil dibandingkan dengan jumlah total partikel, ini masih berarti bahwa banyak anak tangga akan terisi. Setelah Anda mengisi semua anak tangga dengan partikel, tingkat energi tertinggi yang terisi disebut "energi Fermi".

Pada tahun 1910, pada tahun yang sama Nernst mengkonfirmasi teori kuantum kapasitas panas untuk gas diatomik, jenis bintang baru ditemukan oleh para astronom. Pada 1922 ia akan dinamai "white dwarf", tetapi pada tahun 1910 para astronom memperhatikan bahwa itu berbeda dari bintang biasa dan memiliki beberapa sifat yang cukup aneh. Hal yang membingungkan tentang bintang semacam ini adalah kelihatannya terlalu padat untuk fisika klasik untuk menjelaskan bagaimana ia bisa bersinar.

Sirius B (titik kecil) adalah bintang katai putih paling dekat

Massa katai putih mirip dengan massa Matahari, namun semua massa itu dikemas menjadi bola kecil yang biasanya seukuran Bumi. Mengingat Matahari sekitar 333.000 kali lebih masif dari Bumi, itu artinya jenisnya sangat padat. Pada saat itu, itu jauh lebih padat daripada apa pun yang pernah dilihat atau didengar oleh fisikawan, meskipun bintang seharusnya membakar gas ion (juga dikenal sebagai plasma), bukan benda padat. Jika itu semacam padatan yang sangat padat, lalu mengapa itu akan bersinar sama sekali?

Ternyata itu memang plasma, bukan padat. Tapi itu benar-benar padat. Tidak ada teori klasik gas yang dapat menjelaskan bagaimana gas dapat menjadi padat ini dan tidak hanya runtuh dengan sendirinya karena gravitasinya sendiri. Pada tahun 1926, RH Fowler menjelaskan dengan benar, menggunakan matematika mekanika kuantum, bahwa katai putih sebenarnya gas Fermi daripada gas klasik.

Dengan kata lain, kurcaci putih adalah gas dari fermion identik. Secara khusus, ini adalah gas elektron. Pada suhu tinggi dan tekanan rendah, gas elektron berperilaku tidak berbeda dengan gas klasik biasa. Tidak masalah bahwa masing-masing elektron identik karena ada lebih banyak keadaan yang tersedia daripada elektron. Mereka memiliki volume yang besar untuk bergerak, dan banyak cara yang dapat digunakan untuk bergerak karena suhunya cukup tinggi. Tapi cukup dinginkan gas yang sama, atau naikkan tekanan sehingga bisa dikemas dalam volume yang cukup kecil, dan kemudian elektron mulai diperas ke dalam kondisi yang sama. Kecuali bahwa mereka tidak dapat masuk ke keadaan yang persis sama karena prinsip pengecualian Pauli. Jadi mereka hanya mengisi keadaan kira-kira hingga energi Fermi dan berhenti.

Jika mereka adalah partikel yang dapat dibedakan, maka mereka semua harus pergi ke keadaan yang sama dan energi pada dasarnya akan nol - tidak ada gerakan di keadaan dasar. Tetapi karena mereka adalah fermion, ada "tekanan degenerasi" yang membuat mereka tidak masuk ke kondisi yang sama dan menghindari semuanya runtuh karena gravitasi. Statistik tentang bagaimana fermion dalam situasi ini berperilaku dikenal sebagai "statistik Fermi-Dirac", yang hanya menjadi mirip dengan "statistik Maxwell-Boltzmann" klasik dalam batas suhu tinggi dan tekanan rendah. Statistik dalam konteks ini mengacu pada probabilitas bahwa setiap partikel akan memiliki energi yang diberikan pada kesetimbangan, sebagai fungsi dari suhu. Atau cara lain untuk mengatakannya: berapakah jumlah partikel yang diharapkan yang akan ditemukan pada setiap tingkat energi untuk suatu sistem setelah mencapai kesetimbangan?

Anda dapat memperoleh statistik Maxwell-Boltzmann dengan menghitung berapa banyak keadaan unik berbeda yang dapat ditempati partikel menggunakan kombinatorik, dan kemudian mencari tahu di mana distribusi keadaan ini mencapai maksimum (juga mewakili entropi maksimum, alias kesetimbangan). Untuk energi yang lebih rendah, degenerasi umumnya lebih rendah sehingga tidak ada banyak negara. Tetapi jika energi dari partikel individu terlalu tinggi, maka ia mengurangi jumlah energi yang tersisa untuk didistribusikan di antara partikel-partikel lain yang menghasilkan lebih sedikit kemungkinan kombinasi. Jadi ada keseimbangan, kondisi keseimbangan, di mana seluruh sistem berada pada entropi maksimum ketika keadaan energi yang diberikan diisi dengan jumlah partikel N_i = K_i / e ^ (E_i-μ) / (kT) yang diharapkan. K_i adalah degenerasi; itu mewakili berapa banyak negara pada tingkat energi yang diberikan E_i. Faktor e ^ (- E_i / kT) (di mana k adalah konstanta Boltzmann dan suhu T) dikenal sebagai "faktor Boltzmann". Faktor Boltzmann berarti ketika kita naik tangga tingkat energi, jumlah partikel yang menempati setiap anak tangga semakin berkurang secara eksponensial (meskipun ada lebih banyak ruang bagi mereka karena degenerasi). Tetapi suhu mengontrol seberapa cepat penurunan eksponensial ini. Simbol Yunani μ in e ^ (E_i-μ) / (kT) disebut "potensi kimia" dan tidak penting untuk saat ini, tetapi itu mewakili berapa banyak total energi suatu sistem akan meningkat jika partikel tambahan ditambahkan ke dalamnya . (Untuk banyak sistem, μ adalah 0 atau sekitar 0 sehingga seringkali tidak termasuk).

Selama gasnya cukup jarang sehingga kita tidak perlu khawatir tentang dua partikel berbeda yang menempati keadaan yang sama (N_i yang diharapkan di semua negara bagian kurang dari 1), maka derivasi yang sama bekerja dengan baik untuk fermion atau untuk boson - tidak masalah, keduanya mengarah pada statistik Maxwell-Boltzmann yang sama. Namun, jika Anda mempertimbangkan kasus di mana gasnya sangat padat atau pada suhu yang cukup rendah, maka tiba-tiba itu sangat penting apakah partikelnya adalah fermion atau boson (atau tidak, yang tidak benar-benar terjadi di alam tetapi dapat dibayangkan) . Untuk fermion, jumlah partikel yang diharapkan menempati setiap tingkat energi setelah Anda menghitung status dan menemukan maksimumnya adalah N_i = 1 / (e ^ ((E_i-μ) / (kT)) + 1) - inilah yang dikenal sebagai Statistik Fermi-Dirac. Untuk kondisi kepadatan tinggi di bintang katai putih, atau kondisi suhu rendah di gas Fermi lainnya, potensi kimia μ menjadi penting dan kira-kira sama dengan energi Fermi yang dibahas sebelumnya (dan untuk suhu nol persis sama). Perhatikan bahwa satu-satunya perbedaan antara statistik Maxwell-Boltzmann dan statistik Fermi-Dirac adalah "+1" dalam rumus Fermi-Dirac. Perbedaan yang sangat kecil, namun memiliki efek yang sangat besar pada cara perilakunya!

Bagaimana dengan boson? Mereka tidak mematuhi prinsip pengecualian Pauli, jadi bukankah gas boson tidak terlihat berbeda dengan gas klasik biasa? Tidak, boson memiliki set statistik sendiri yang mereka ikuti dikenal sebagai "statistik Bose-Einstein", yang berbeda dari statistik Maxwell-Boltzmann dan Fermi-Dirac.

Meskipun mereka tidak mematuhi prinsip pengecualian Pauli, boson identik masih berbeda dari partikel yang dapat dibedakan karena kombinatoriknya masih berbeda. Ingat kembali ketika kita membahas keadaan kuantum di ruang Hilbert? Untuk sepasang boson identik, masing-masing dengan hanya 2 status yang tersedia, kami melihat bahwa pasangan hanya memiliki 3 status yang memungkinkan mereka berada, bukan 4 yang Anda harapkan jika mereka dapat dibedakan. Generalisasi dari hal ini adalah bahwa untuk set N boson identik dengan status K tersedia, ada “N pilih K-1” = (N + K-1)! / N! / (K-1)! mereka berada dalam keadaan unik yang berbeda, bukan K ^ N untuk partikel yang dapat dibedakan. (Di mana tentu saja, tanda! Adalah simbol faktorial matematika seperti pada bagian 1.) Anda dapat dengan mudah memeriksa apakah ini berfungsi untuk contoh asli saya di mana N = K = 2: (2 + 2-1)! / 2! / (2 –1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Mengizinkan setiap tingkat energi untuk memiliki jumlah yang berbeda dari keadaan merosot K_i, formula harus diperluas ke produk dari banyak faktor masing-masing bentuk (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (Hal yang sama seperti di atas, hanya dengan saya berlangganan pada mereka untuk membedakan tingkat energi yang berbeda E_i). Setelah menggunakan kalkulus untuk menemukan maksimum ungkapan ini, keadaan kesetimbangan yang dihasilkan dapat diidentifikasi sebagai yang memiliki N_i = K_i / (e ^ ((E_i-μ) / (kT)) - 1) partikel di setiap tingkat energi E_i. Ini adalah rumus untuk statistik Bose-Einstein. Perhatikan, satu-satunya perbedaan antara ini dan rumus Fermi-Dirac adalah +1 sekarang menjadi -1! Ini membuat ketiganya lebih mudah diingat. Meskipun biasanya untuk boson, μ adalah 0 karena mereka dapat dengan mudah dibuat atau dihancurkan - misalnya, nomor foton tidak dilestarikan di alam semesta kita, sehingga mereka dapat muncul dan menghilang tanpa biaya saat dibutuhkan.

Rumus statistik Einstein-Bose ditemukan oleh seorang fisikawan India bernama Satyendra Nath Bose, satu atau dua tahun sebelum statistik Fermi-Dirac ditemukan dan diterapkan pada kurcaci kulit putih. Kisah tentang bagaimana ia menemukan kisah itu sangat menarik. Dia memberikan ceramah pada tahun 1924 di British India (dalam apa yang sekarang disebut Bangladesh) tentang "bencana ultraviolet". Bencana ultraviolet adalah nama yang diberikan pada awal abad ke-20 untuk masalah yang tak seorang pun tahu bagaimana cara sepenuhnya mendapatkan formula Planck untuk radiasi benda hitam dari mekanika statistik, yang saya bahas panjang lebar dalam apa yang sejauh ini merupakan karya paling populer saya tentang Medium (cerita ini) tentang bagaimana Planck menemukan mekanika kuantum dengan mempelajari entropi).

Planck benar dalam menunjukkan bahwa kuncinya adalah mengasumsikan bahwa energi dikuantisasi entah bagaimana, tetapi dia tidak berhasil menghasilkan derivasi yang bersih sepenuhnya dari prinsip pertama, tanpa memasukkan beberapa asumsi ad hoc tentang mode getaran di dalam. oven. Bose sedang melalui proses menunjukkan kepada hadirin mengapa mulai dari kombinatorik dasar keadaan dan tingkat energi, Anda berakhir dengan formula yang salah. Kecuali bahwa pada akhirnya, keajaiban aneh terjadi - dia mengejutkan dirinya sendiri dan semua orang dengan entah bagaimana secara tidak sengaja berakhir pada formula yang tepat. Dia melihat ke belakang melalui apa yang telah dia lakukan dan menyadari bahwa dia telah melakukan kesalahan - dalam menghitung negara bagian dia telah menghitung mereka dengan cara yang "salah". Dia secara tidak sengaja memperlakukan foton seolah-olah semuanya identik dan dapat dipertukarkan alih-alih dibedakan seperti yang diduga sebelumnya. Setelah memikirkan hal ini lebih lanjut, dia menyadari mungkin dia sedang melakukan sesuatu - mungkin itu sebenarnya bukan kesalahan. Dia tidak tahu siapa lagi yang harus diceritakan, jadi dia memutuskan untuk menulis surat kepada Albert Einstein. Einstein segera sangat bersemangat dan membantunya menerbitkan makalah tentang itu.

Satyendra Nath Bose

Jadi kunci pertama untuk mereproduksi formula Planck adalah bahwa cahaya dikuantisasi menjadi paket energi individu yang sekarang disebut foton. Tetapi kunci besar kedua adalah bahwa foton ini tidak memiliki identitas individual. Selain beberapa memiliki energi dan momentum yang berbeda dari yang lain, mereka semua identik. Dengan melihat ke belakang, ini membuat banyak karya Boltzmann dan Gibbs sebelumnya tentang mekanika statistik lebih masuk akal. Ada faktor N! dilemparkan ke persamaan untuk membuat distribusi Maxwell-Boltzmann bekerja dengan benar, dan untuk memastikan entropi diskalakan dengan volume. Gibbs sadar bahwa ini ada hubungannya dengan memperlakukan partikel seolah-olah mereka dapat dipertukarkan, tetapi tidak ada yang memperhatikan hal itu atau benar-benar membawanya ke hati. Sebelum Bose, umumnya semua orang masih beranggapan bahwa partikel akan dapat dibedakan satu sama lain pada tingkat tertentu setidaknya secara prinsip.

Kesalahan kebetulan Bose di Bangladesh memungkinkan seluruh dunia fisika meletakkan paku di peti mati untuk gagasan bahwa masing-masing partikel kuantum memiliki identitasnya sendiri. Jika ya, maka akan ada lebih banyak negara bagian dan kita masih memiliki bencana ultraviolet di tangan kita - termodinamika foton yang dibedakan tidak akan pernah mampu mereproduksi radiasi benda hitam yang telah diamati dalam oven benda hitam sejak akhir tahun 1800-an. Kita juga tidak dapat menjelaskan mengapa matahari atau sumber cahaya lainnya tidak memancarkan energi yang tak terbatas.

Dan itu - teman-teman saya - adalah kisah tentang bagaimana kami mengetahui bahwa semua elektron identik!

Silakan klik tombol tepuk jika Anda menemukan ini informatif, terima kasih :-)